广州荔湾高中补习班之高中数学函数值域的12种解法

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一。观察法
　　
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　
　　例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
　　
　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。
　　
　　解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
　　
　　故3+√(2-3x)≥3.
　　
　　∴函数的知域为。
　　
　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
　　
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　
　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)
　　
　　二。反函数法
　　
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　
　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　
　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　
　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为：x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。
　　
　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
　　
　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝)
　　
　　三。配方法
　　
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域
　　
　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
　　
　　点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
　　
　　解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
　　
　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
　　
　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
　　
　　练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。(答案：值域为{y∣y≤3})
　　
　　四。判别式法
　　
　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。
　　
　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
　　
　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　
　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
　　
　　当y≠2时，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2
　　
　　当y=2时，方程(*)无解。∴函数的值域为2
　　
　　点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
　　
　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。
　　
　　五。值法
　　
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的较值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。
　　
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　
　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　
　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
　　
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
　　
　　当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4.
　　
　　∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。
　　
　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。
　　
　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ()
　　
　　A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)
　　
　　(答案：D)。
　　
　　六。图象法
　　
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　
　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
　　
　　点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　
　　解：原函数化为 -2x+1(x≤1)
　　
　　y= 3 (-1
　　
　　2x-1(x>2)
　　
　　它的图象如图所示。
　　
　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。
　　
　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
　　
　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
　　
　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。